Uzantı kartı · Kesin

Süper verimlilik DEA (Andersen ve Petersen, 1993)

Süper verimlilik DEA, klasik DEA'da eşit derecede "etkin" (θ=1) sayılan birimleri kendi aralarında da sıralamaya izin veren bir biçimdir. Her birim, kendi verisi referans kümesinden çıkarılarak yeniden değerlendirilir; bu sayede etkin birimler arasında da bir üstünlük derecesi ortaya çıkar.

Temel yöntem

DEA →

Felsefe, işleyiş, güçlü ve zayıf yanlar temel yöntem kartında; bu kart yalnız farkı anlatır.

Veri türü (aile)

Kesin (Classical) →

Bu veri türü nedir, ne zaman kullanılır, hücreye nasıl yazılır: ailenin ayrıntılı anlatımı burada.

Temel Yöntemden Ne Değişir?

Hücreler. Veri türü aynıdır: girdi ve çıktı sütunları kesin, negatif olmayan sayılardır. Fark veri türünde değil, referans kümesinin nasıl kurulduğundadır.

Ölçek eşitleme. Klasik DEA'da (CCR) her birim, kendisi dahil tüm birimlerin oluşturduğu sınıra göre değerlendirilir; bu yüzden sınırdaki birimlerin hepsi theta=1 alır ve aralarında ayrım yapılmaz. Süper verimlilik, her birim için o birimi referans kümesinden çıkarıp geri kalan birimlerle yeni bir sınır kurar. Böylece etkin bir birim artık kendi kendisiyle kıyaslanmaz, yalnızca diğerleriyle kıyaslanır.

Uzaklık / skor / birleştirme. Bu dışlama, etkin bir birimin skorunu 1'in üzerine çıkarabilir: skor artık "bu birim, diğerlerinin oluşturduğu sınıra göre girdilerini ne kadar büyütebilirdi de yine de sınırda kalırdı" sorusuna cevap verir. Etkin olmayan bir birimde bu dışlamanın hiçbir etkisi yoktur, çünkü zaten kendi verisi sınırı belirlemiyordu; skoru klasik CCR ile aynı kalır.

Sonuç ve durulaştırma. Çıktı yine tek bir sayıdır (theta), ama artık üst sınırı 1 değildir. theta=1'in üzerindeki değerler, birimin sınırdan ne kadar "uzakta ve güvenli" olduğunu gösterir; 1'in altındaki değerler klasik DEA'daki gibi okunur. Durulaştırma yoktur, hesap kesin sayıyla ilerler.

Çıktı Nasıl Yorumlanır?

Etkin olmayan bir birim için okuma DEA kartındaki gibidir. Fark, theta=1 çıkan birimler arasındadır: klasik DEA bu birimleri ayırt edemezken, süper verimlilik theta'nın 1'in üzerindeki değerine bakarak bir sıra kurar. theta'sı yüksek olan birim, referans kümesindeki diğer birimlerin oluşturduğu sınırdan daha uzaktadır; bu, "ne kadar daha fazla kaynak kullansa yine de sınırda kalırdı" sorusuna verilen sayısal bir cevaptır.

Bu yüzden:

"A ve B'nin ikisi de DEA'da etkin çıktı, demek ki ikisi de eşit derecede iyi"

yerine:

"A ve B klasik DEA'da ikisi de theta=1 ile etkindir; süper verimlilikte B'nin skoru (1,80) A'nınkinden (1,71) yüksektir. Bu, B'nin diğer birimlerin oluşturduğu sınırdan A'ya göre biraz daha uzakta durduğunu gösterir, ama iki değer de birbirine yakındır"

biçiminde yazmak doğrudur.

Ne Zaman Temel Yöntem Yerine Bu?

Klasik DEA'da birden fazla birim theta=1 ile etkin çıkıyorsa ve bu birimler arasında da bir öncelik sırası kurmak gerekiyorsa süper verimlilik tercih edilir. Girdi/çıktı ayrımı ve DEA'nın ağırlık almama ilkesi burada da aynen geçerlidir. Etkin olmayan birimler için süper verimlilik klasik DEA'ya hiçbir şey eklemez; yalnızca sınırdaki birimleri ayırt etmek isteniyorsa kullanılmalıdır.

Bu Uzantıya Özgü Hatalar

Girdi odaklı modelde bazı etkin birimler için doğrusal programlamanın çözümsüz çıkabileceğini unutmak. Bir birim, diğer tüm birimlerin girdi-çıktı bileşiminden radikal biçimde farklıysa, kendisini dışladığınızda hiçbir kombinasyon onun sınırını tanımlayamayabilir. DecisionMind bu durumu veri kontrolünde işaretler; böyle bir birim için süper verimlilik skoru yorumlanamaz.

1'in üzerindeki skoru bir yüzde sanmak. theta=1,80, birimin "yüzde 80 daha verimli" olduğu anlamına gelmez; birimin girdilerini diğerlerinin oluşturduğu sınıra göre yüzde 80 büyütebileceği, yine de sınırda kalacağı anlamına gelir.

Etkin olmayan bir birimin skorunu süper verimlilikle "iyileştirmeye" çalışmak. Süper verimlilik yalnız etkin birimleri ayırt etmek içindir; etkin olmayan bir birimin skoru klasik DEA'dakiyle aynıdır ve bu yöntemle değişmez.

Temel ilke şudur:

Süper verimlilik, klasik DEA'nın ayırt edemediği etkin birimleri, her birini kendi referans kümesinden çıkararak sıralar; 1'in üzerindeki değer bir kalite değil, sınırdan uzaklık ölçüsüdür.

Vakalar

Her iki vaka öğretici kurgudur. Birinci vaka, DecisionMind'ın motoru hem etkin hem etkin olmayan birimleri birlikte içerecek biçimde el ile kurduğu, sentetik ve el hesabıyla izlenebilir bir tablodur; bir makale ya da kitap tablosundan alınmamıştır.

1. Öğretici örnek: Üç hastanenin verimlilik sıralaması (DecisionMind'ın doğrulama örneği)

Üç hastane (DMU1, DMU2, DMU3) iki girdiyi (yatak sayısı, personel gideri) iki çıktıya (tedavi sayısı, memnuniyet puanı) dönüştürüyor.

Hastane	Yatak sayısı	Personel gideri	Tedavi sayısı	Memnuniyet puanı
DMU1	2	3	10	8
DMU2	3	2	12	7
DMU3	4	4	9	9
Girdi/Çıktı	Girdi	Girdi	Çıktı	Çıktı

(DEA ailesinde "Ağırlık" satırı yoktur.)

Klasik DEA bu üç hastaneyi önce değerlendirir: DMU1 ve DMU2 theta=1,000 ile etkindir, DMU3 theta=0,750 ile etkin değildir. DMU1 ve DMU2 arasında klasik DEA hiçbir ayrım yapmaz. Süper verimlilik, her hastaneyi kendi verisi dışlanmış bir referans kümesiyle yeniden değerlendirir.

Hastane	theta (süper verimlilik)	Klasik DEA (theta)
DMU2	1,800	1,000
DMU1	1,714	1,000
DMU3	0,750	0,750

Sonuç şöyle okunur: DMU1 ve DMU2 klasik DEA'da eşit derecede etkin görünse de süper verimlilikte DMU2 (1,800) DMU1'den (1,714) daha yüksek çıkar; DMU2, diğer iki hastanenin oluşturduğu sınıra göre girdilerini daha fazla büyütebilir ve yine sınırda kalabilirdi. DMU3'ün skoru değişmez (0,750), çünkü DMU3 zaten sınırı belirlemiyordu; kendisini dışlamanın sonucu etkilemez.

Ekibin tereddüdü şudur: DMU1'in yatak sayısı 2'den 1,8'e inse (yüzde 10 azalsa) ne olur? Bu senaryo Python ile yeniden çözülmüştür; DMU1'in skoru 1,714'ten 1,905'e çıkar ve DMU2'yi (1,800) geçer. Bu, iki etkin hastane arasındaki sıralamanın tek bir girdideki küçük bir değişikliğe duyarlı olduğunu, DMU3'ün sıralamasının ise (üçüncü sırada kalması) bu değişiklikten etkilenmediğini gösterir.

Raporda: "DMU1 ve DMU2 klasik DEA'da eşit derecede etkindir; süper verimlilik bu ikisini ayırt eder ve DMU2'yi (1,800) DMU1'in (1,714) önüne koyar. Bu sıralama, DMU1'in yatak sayısındaki küçük bir iyileşmeyle değişebilir; DMU3'ün üçüncü sıradaki konumu bu değişiklikten etkilenmez."

Kaynak: Bu, DecisionMind'ın DEA-SUPEREFF (Andersen ve Petersen, 1993) motoru için el ile kurulmuş, sentetik ve el hesabıyla izlenebilir bir doğrulama örneğidir; bir makale ya da kitap tablosunun yeniden üretimi değildir. Skorlar bu kartın yazarınca Python ile bağımsız olarak yeniden hesaplanmış, DecisionMind manifestindeki iç denetim kaydıyla birebir doğrulanmıştır.

2. Spor Tesisi: Bir belediyenin semt spor merkezleri arasında yıllık teşvik sıralaması

Bir belediye, üç semt spor merkezine yıllık teşvik dağıtacaktır ve dağıtımı verimlilik sırasına göre yapmak istemektedir. Belediye iki girdi (personel sayısı, işletme gideri) ve iki çıktı (üye sayısı, düzenlenen etkinlik sayısı) belirlemiştir.

Klasik DEA'da iki merkez theta=1,000 ile etkin, bir merkez etkin değil çıkıyor. Belediye iki etkin merkez arasında da bir öncelik sırası istediği için süper verimlilik uygulanır. Diyelim ki daha küçük bütçeli merkez, süper verimlilik skorunda daha büyük bütçeli merkezin önüne geçiyor; bu, küçük merkezin sınırdan daha uzakta durduğu, yani kaynaklarını diğerlerine göre daha yoğun kullandığı anlamına gelir.

Belediyenin tereddüdü şudur: süper verimlilik sırası tek başına teşvik miktarını belirlemek için yeterli midir? İki etkin merkezin skorları birbirine yakınsa (örneğin 1,80 ile 1,71 gibi), aradaki fark tek bir ölçütteki küçük bir değişiklikle tersine dönebilir. Belediye, skorlar birbirine yakınsa teşviki eşit bölmeyi de değerlendirmelidir.

Raporda: "İki spor merkezi klasik DEA'da eşit derecede etkindir; süper verimlilik bunlardan birini diğerinin önüne koyar. Ancak iki skor birbirine yakın olduğundan, teşvik dağıtımı yalnızca bu sıraya değil, aradaki farkın küçüklüğüne de dikkat ederek yapılmalıdır."

3. Yapılmaması Gereken

Birinci yanlış, öğretici örnekte DMU2'nin süper verimlilik skorunun (1,800) DMU1'inkinden (1,714) yüksek olmasını "DMU2 kesinlikle daha iyi yönetiliyor" diye mutlaklaştırmaktır; aradaki fark küçüktür ve yukarıda gösterildiği gibi tek bir girdideki küçük bir değişiklikle tersine dönebilir. İkinci yanlış, DMU3'ün süper verimlilik skorunu (0,750) klasik DEA skoruyla (0,750) karşılaştırıp "yöntem hiçbir şey değiştirmedi, o hâlde yanlış çalışıyor" diye yorumlamaktır; DMU3 zaten sınırı belirlemiyordu, skorun değişmemesi beklenen bir sonuçtur. Üçüncü yanlış, 1'in üzerindeki bir skoru (örneğin 1,80) yüzde yüz yirmi bir "başarı oranı" gibi sunmaktır; bu skor bir yüzde değil, sınırdan uzaklık ölçüsüdür.

Formüller

Hesabın adımları ve her adımın formülü. Adım açıklamaları İngilizcedir.

1. Partition strictly positive observations into DEA inputs X and outputs Y using the disclosed role map.
$X \in R_{> 0}^{m \times p}, Y \in R_{> 0}^{m \times q}$
2. Solve the selected input- or output-oriented CRS super-efficiency LP for every DMU, excluding that DMU from its own reference set.
$input: min θ, X_{- o} λ \leq θ x_{o}, Y_{- o} λ \geq y_{o}; output: max ϕ, X_{- o} λ \leq x_{o}, Y_{- o} λ \geq ϕ y_{o}; λ \geq 0$
3. Map the solved radial factor to one higher-is-better super-efficiency scale and rank DMUs descending with deterministic ID tie-breaking.
$S E_{o} = θ_{o}^{*} (input) = 1/ ϕ_{o}^{*} (output under CRS); rank ↓ S E_{o}$

Kaynaklar

Andersen, P., & Petersen, N. C. (1993). A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis. Management Science, 39(10), 1261–1264. DOI: 10.1287/mnsc.39.10.1261

Tone, K. (2002). A strange case of the cost and allocative efficiencies in DEA. Journal of the Operational Research Society, 53(11), 1225–1231. DOI: 10.1057/palgrave.jors.2601438

Charnes, A., Cooper, W. W., & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2(6), 429–444. DOI: 10.1016/0377-2217(78)90138-8

Cook, W. D., & Seiford, L. M. (2009). Data envelopment analysis (DEA) – Thirty years on. European Journal of Operational Research, 192(1), 1–17. DOI: 10.1016/j.ejor.2008.01.032